La probabilità Congiunta e la probabilità dell’Unione

La Joint Probability (Probabilità Congiunta) e la Union Probability (Probabilità dell’Unione) sono concetti fondamentali nella teoria delle probabilità, e rappresentano differenti modi di descrivere le relazioni tra eventi.

Joint Probability (Probabilità Congiunta)

La probabilità congiunta si riferisce alla probabilità che due o più eventi si verifichino contemporaneamente. È spesso indicata come

dove e sono gli eventi in questione.

Ad esempio, se è l’evento “ottenere un numero pari” e è l’evento “ottenere un numero maggiore di 4” in un lancio di dado, la probabilità congiunta sarebbe la probabilità di ottenere un numero pari maggiore di 4, come ad esempio 6.

Union Probability (Probabilità dell’Unione)

La probabilità dell’unione si riferisce alla probabilità che almeno uno tra due o più eventi si verifichi. È spesso indicata come

dove e sono gli eventi in questione.

Continuando con l’esempio precedente, sarebbe la probabilità di ottenere un numero pari o un numero maggiore di 4 in un lancio di dado.

Differenza tra Probabilità Congiunta e Probabilità dell’Unione

La principale differenza tra queste due probabilità sta nel fatto che la probabilità congiunta si riferisce all’occorrenza simultanea di due eventi, mentre la probabilità dell’unione si riferisce all’occorrenza di almeno uno tra due eventi.

La probabilità dell’unione può essere calcolata utilizzando il principio di addizione: ( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) ). In altre parole, la probabilità dell’unione è la somma delle probabilità dei singoli eventi meno la probabilità della loro intersezione.

In sintesi, la probabilità congiunta descrive la probabilità che due eventi si verifichino insieme, mentre la probabilità dell’unione descrive la probabilità che almeno uno di essi si verifichi.

Esempio con Python

Per comprendere meglio i concetti possiamo fare un piccolo esempio in Python che illustra i concetti di “Joint Probability” e “Union Probability” utilizzando un semplice scenario del lancio di un dado:

import numpy as np

# Definizione della probabilità di ottenere un numero pari (A) e un numero maggiore di 4 (B)
prob_pari = 3 / 6  # 1, 2, 3 sono pari
prob_maggiore_di_4 = 3 / 6  # 5, 6 sono maggiori di 4

# Definizione della probabilità congiunta P(A ∩ B)
prob_congiunta = 1 / 6  # Solo il 6 soddisfa entrambe le condizioni

# Calcolo della probabilità dell'unione P(A ∪ B)
prob_unione = prob_pari + prob_maggiore_di_4 - prob_congiunta

# Stampa dei risultati
print(f"Probabilità di ottenere un numero pari (A): {prob_pari}")
print(f"Probabilità di ottenere un numero maggiore di 4 (B): {prob_maggiore_di_4}")
print(f"Probabilità congiunta P(A ∩ B): {prob_congiunta}")
print(f"Probabilità dell'unione P(A ∪ B): {prob_unione}")

In questo esempio, stiamo considerando due eventi:

• A: ottenere un numero pari nel lancio di un dado.
• B: ottenere un numero maggiore di 4 nel lancio di un dado.

Il codice calcola la probabilità congiunta e la probabilità dell’unione utilizzando il principio di addizione per la probabilità dell’unione. I risultati vengono quindi stampati per illustrare come vengono calcolate queste probabilità nel contesto specifico del lancio di un dado.