Eventi mutualmente esclusivi in statistica con Python

In questo articolo daremo una rapida panoramica sulla definizione di eventi mutualmente esclusivi, utilizzando alcuni esempi che possano delucidare al meglio tale concetti, come il lancio d. In Python, come in altri linguaggi di programmazione, è facile realizzare semplici programmi utili per verificare l’esclusività degli eventi.

Gli Eventi mutualmente esclusivi

Due eventi si dicono “mutualmente esclusivi” (o “disgiunti“) se non possono verificarsi contemporaneamente. In altre parole, se uno di essi si verifica, l’altro non può verificarsi nello stesso momento. Ad esempio, considera due eventi A e B. Se A si verifica, allora B non può verificarsi, e viceversa.

Matematicamente, la probabilità dell’unione di due eventi mutualmente esclusivi è la somma delle probabilità dei singoli eventi. Quindi, se P(A) è la probabilità dell’evento A e P(B) è la probabilità dell’evento B, e A e B sono mutualmente esclusivi, allora la probabilità dell’unione di A e B (indicata come P(A ∪ B)) è data da:

È importante notare che questa relazione vale solo quando gli eventi sono mutualmente esclusivi. Se gli eventi non sono mutualmente esclusivi, dovresti considerare anche la sovrapposizione delle probabilità e sottrarre la probabilità dell’intersezione.

Ad esempio, se hai un dado standard a sei facce, e definisci gli eventi A e B come “ottenere un numero pari” e “ottenere un numero dispari”, rispettivamente, allora A e B sono mutualmente esclusivi. La probabilità di ottenere un numero pari è 1/2, la probabilità di ottenere un numero dispari è anche 1/2, e la probabilità dell’unione di A e B è:

Esempio del lancio della moneta con Python

Un esempio comune di eventi mutualmente esclusivi può essere trovato nel lancio di una moneta. Consideriamo gli eventi A e B, dove:

• (A) rappresenta l’evenienza “ottenere testa” nel lancio di una moneta.
• (B) rappresenta l’evenienza “ottenere croce” nel lancio di una moneta.

In questo caso, (A) e (B) sono mutualmente esclusivi perché non è possibile ottenere contemporaneamente testa e croce in un singolo lancio di moneta. Se otteniamo testa ((A)), non otteniamo croce ((B)), e viceversa.

La probabilità di ottenere testa è 0.5, e la probabilità di ottenere croce è anch’essa 0.5, perché il lancio di una moneta equa ha due risultati possibili ugualmente probabili.

Ora, utilizzando il principio di addizione per eventi mutualmente esclusivi, la probabilità di ottenere testa o croce

Questo risultato ha senso perché il lancio di una moneta deve sempre dare testa o croce, e le probabilità totali di tutti gli esiti possibili devono sommare a 1.

In sintesi, l’applicazione di questo principio nel contesto del lancio di una moneta mostra come sia possibile calcolare la probabilità di eventi combinati quando gli eventi sono mutualmente esclusivi. Questo principio è fondamentale in statistica e probabilità e trova applicazione in diversi contesti, inclusi gli esperimenti casuali e gli studi di probabilità.

Ecco un esempio di codice in Python che implementa il concetto di eventi mutualmente esclusivi nel contesto del lancio di una moneta:

import random

def lancio_moneta():
    # Simula il lancio di una moneta equa
    risultato = random.choice(['testa', 'croce'])
    return risultato

def probabilita_testa_o_croce(num_lanci):
    conteggio_testa = 0
    conteggio_croce = 0

    for _ in range(num_lanci):
        risultato = lancio_moneta()

        if risultato == 'testa':
            conteggio_testa += 1
        elif risultato == 'croce':
            conteggio_croce += 1

    probabilita_testa = conteggio_testa / num_lanci
    probabilita_croce = conteggio_croce / num_lanci
    probabilita_totale = probabilita_testa + probabilita_croce

    return probabilita_testa, probabilita_croce, probabilita_totale

# Numero di lanci
num_lanci = 10000

# Calcola le probabilità
prob_testa, prob_croce, prob_totale = probabilita_testa_o_croce(num_lanci)

# Stampa i risultati
print(f"Probabilità di testa: {prob_testa}")
print(f"Probabilità di croce: {prob_croce}")
print(f"Probabilità totale: {prob_totale}")

Questo programma simula il lancio di una moneta equa (con risultato testa o croce) e calcola le probabilità di ottenere testa, croce e l’evento composto “testa o croce” sulla base di un numero specificato di lanci. Il risultato dovrebbe avvicinarsi alle probabilità teoriche di 0.5 per testa e 0.5 per croce, con una probabilità totale che si avvicina a 1.0.

Probabilità di testa: 0.5041
Probabilità di croce: 0.4959
Probabilità totale: 1.0

Test: due eventi sono mutualmente esclusivi?

Un modo per analizzare se due eventi sono mutualmente esclusivi è verificare se l’intersezione dei due eventi è vuota. In altre parole, se l’insieme degli esiti che soddisfano entrambi gli eventi è nullo, allora gli eventi sono mutualmente esclusivi.

In Python, puoi utilizzare un’operazione di confronto per verificare se l’intersezione degli insiemi di risultati degli eventi è vuota. Creiamo ad esempio due eventi A e B in cui una occorrenza risulta la stessa. Con la funzione isdisjoint() possiamo immediatamente vedere se i due insiemi hanno un elemento in comune.

# Definiamo due insiemi di risultati degli eventi
eventi_A = {'a', 'b', 'c'}
eventi_B = {'c', 'd', 'e'}

# Verifichiamo se gli eventi sono mutualmente esclusivi
if eventi_A.isdisjoint(eventi_B):
    print("Gli eventi sono mutualmente esclusivi.")
else:
    print("Gli eventi non sono mutualmente esclusivi.")

In questo esempio, eventi_A e eventi_B sono insiemi che rappresentano i risultati possibili degli eventi A e B, rispettivamente. Utilizzando il metodo isdisjoint(), possiamo verificare se gli insiemi sono disgiunti (ossia se l’intersezione è vuota), il che indica che gli eventi sono mutualmente esclusivi. Eseguendo infatti si vede che i due eventi non sono mutualmente esclusivi.

Gli eventi non sono mutualmente esclusivi.

Puoi applicare questo metodo per verificare se due eventi sono mutualmente esclusivi in base alla natura specifica degli eventi che stai analizzando.

Perchè è importante sapere se due eventi sono mutualmente esclusivi?

In molti contesti statistici e probabilistici, è importante calcolare la probabilità di eventi congiunti. Se due eventi sono mutualmente esclusivi, la probabilità che entrambi si verifichino contemporaneamente è nulla. Ciò semplifica notevolmente i calcoli delle probabilità.

Nella modellazione di fenomeni reali, spesso si considerano più eventi che possono verificarsi in diverse situazioni. Identificare se gli eventi sono mutualmente esclusivi aiuta a creare modelli più accurati e robusti. Nel prendere decisioni o pianificare azioni, comprendere se due eventi sono mutualmente esclusivi può influenzare il processo decisionale. Ad esempio, se si pianifica un evento e le sue alternative, è essenziale sapere se le alternative sono mutualmente esclusive o meno.

In molti casi, risolvere problemi pratici richiede la considerazione di più opzioni o alternative. Sapere se queste opzioni sono mutualmente esclusive può guidare nella selezione della soluzione migliore. Identificare eventi mutualmente esclusivi semplifica l’analisi dei dati e dei risultati. Aiuta a ridurre la complessità delle situazioni in esame, consentendo una comprensione più chiara dei fenomeni in questione. In sintesi, la conoscenza sulla mutualità esclusiva di due eventi fornisce informazioni cruciali per varie applicazioni, dalla teoria delle probabilità alla modellazione dei fenomeni reali e alla pianificazione delle decisioni.